1. 设a₁, a₂, a₃, a, b均为4维向量, A = [a₁, a₂, a₃, a], B = [a₁, a₂, a₃, b], 且|A| = 2, |B| = 3, 则|A－3B| = ______.

解. =

            =

2. 若对任意n×1矩阵X, 均有AX = 0, 则A = ______.

解. 假设 , a_i是A的列向量. 对于j = 1, 2, …, m, 令 , 第j个元素不为0. 所以 (j = 1, 2, …, m). 所以A = 0.

3. 设A为m阶方阵, 存在非零的m×n矩阵B, 使AB = 0的充分必要条件是______.

解. 由AB = 0, 而且B为非零矩阵, 所以存在B的某个列向量b_j为非零列向量, 满足Ab_j = 0. 即方程组AX = 0有非零解. 所以|A| = 0;

反之: 若|A| = 0, 则AX = 0有非零解. 则存在非零矩阵B, 满足AB = 0.

所以, AB = 0的充分必要条件是|A| = 0.

4. 设A为n阶矩阵, 存在两个不相等的n阶矩阵B, C, 使AB = AC的充分条件是______.

解.

5.  = ______.

解.

6. 设矩阵 = ______.

解. =

    = － + =

    =

7. 设n阶矩阵A满足 = ______.

解. 由 得 . 所以 , 于是A可逆. 由 得

8. 设 =______.

解. =

   ,  

, 

   = =

9. 设

解. |A| = －3－12 + 8 + 8 + 6－6 = 1

 

10. 设矩阵 , 则A的逆矩阵 = ______.

解. , 

使用分块求逆公式

－ =

所以