1. 设向量组a₁, a₂, a₃线性无关, 则下列向量组线性相关的是

(A) a₁ + a₂, a₂ + a₃, a₃ + a₁         (B) a₁, a₁ + a₂, a₁+ a₂ + a₃

(C) a₁－a₂, a₂－a₃, a₃－a₁          (D) a₁ + a₂, 2a₂ + a₃, 3a₃ + a₁

解. 由 

得    

因为向量组a₁, a₂, a₃线性无关, 所以得关于 的方程组

的系数行列式为     . 所以 有非零解, 所以a₁－a₂, a₂－a₃, a₃－a₁线性相关. (C)是答案.

2. 设矩阵A_m×n的秩为R(A) = m < n, E_m为m阶单位矩阵, 下列结论正确的是

(A) A的任意m个列向量必线性无关   (B) A的任意一个m阶子式不等于零

(C) 若矩阵B满足BA = 0, 则B = 0    (D) A通过行初等变换, 必可以化为(E_m, 0)的形式

解. (A), (B)都错在“任意”; (D)不正确是因为只通过行初等变换不一定能将A变成(E_m, 0)的形式; (C)是正确答案. 理由如下:

因为 BA = 0, 所以  0 . 所以 = 0. 于是B = 0.

3. 设向量组 (I): ;设向量组 (II): , 则

(A) (I)相关Þ(II)相关                (B) (I)无关Þ(II)无关

(C) (II)无关Þ(I)无关                (B) (I)无关Û (II)无关

解. 由定理: 若原向量组线性无关, 则由原向量组加长后的向量组也线性无关. 所以(B)是答案.

4. 设b, a₁, a₂线性相关, b, a₂, a₃线性无关, 则

(A) a₁, a₂, a₃线性相关               (B) a₁, a₂, a₃线性无关

(C) a₁可用b, a₂, a₃线性表示          (D) b可用a₁, a₂ 线性表示

解. 因为b, a₁, a₂线性相关, 所以b, a₁, a₂, a₃线性相关. 又因为b, a₂, a₃线性无关, 所以a₁可用b, a₂, a₃线性表示. (C)是答案.

5. 设A, B是n阶方阵, 且秩(A) = 秩(B), 则

(A) 秩(A－B) = 0                    (B) 秩(A + B) = 2秩(A)  

(C) 秩(A－B) = 2秩(A)               (D) 秩(A + B) £秩(A) + 秩(B)

解. (A) 取 且|A| ¹ 0, |B| ¹ 0则A－B ¹ 0, 则r(A－B) ¹ 0. 排除(A);

(B) 取A =－B ¹ 0, 则秩(A + B) ¹ 2秩(A); (C) 取A = B ¹ 0, 则秩(A－B) ¹ 2秩(A). 有如下定理: 秩(A + B) £秩(A) + 秩(B). 所以(D)是答案.