1. 要使x₁ = (1, 0, 1)^T, x₂ = (－2, 0, 1)^T都是线性方程组 的解, 只要系数矩阵A为

(A)      (B)      (C)       (D)

解. 因为 的对应分量不成比例, 所以 线性无关. 所以方程组 的基础解系所含解向量个数大于2.

(A) , . 因为A是三阶矩阵, 所以 只有零解, 排除(A);

(B) . 所以方程组 的基础解系所含解向量个数:

3－ . 排除(B);

(C)  ,  .所以方程组 的基础解系所含解向量个数:

3－ . 排除(C);

(D) , .所以方程组 的基础解系所含解向量个数:

3－ , (D)是答案.

2. 设 的基础解系, 则该方程组的基础解系还可以表成

(A) 的一个等阶向量组          (B) 的一个等秩向量组

(C)               (C)

解. 由  ,  得

    . 因为 的基础解系, 所以 线性无关. 于是

, 所以 , 则 线性无关. 它也可以是方程组的基础解系. (C)是答案.

(A) 不是答案. 例如 和 等价, 但 不是基础解系.

3. n阶矩阵A可逆的充分必要条件是

(A) 任一行向量都是非零向量           (B) 任一列向量都是非零向量

(C) 有解                      (D) 当 时, , 其中

解. 对(A), (B): 反例  , 不可逆;

对于(C) 假设A为n×n矩阵, 为A的增广矩阵. 当 时, 有无穷多解, 但A不可逆;

(D) 是答案, 证明如下: 当 时, , 说明 只有零解. 所以 存在.