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1. 求方程组  的通解, 并求满足方程组及条件  的全部解.
解. 将条件方程与原方程组构成矩阵
i. 条件方程与原方程组兼容, 即加上条件后的方程组与原方程组有相同的通解;
ii.  , 方程组有解. 齐次方程组的基础解系含解向量的个数为  ;
iii. 齐次方程的基础解系: 
令 
令 
基础解系为: 
iv. 非齐次方程的通解: 
令 
所以全部解为: 
2. 设有线性方程组  , 问m, k为何值时, 方程组有惟一解? 有无穷多组解? 有无穷多组解时, 求出一般解.
解. 
i. 当  , 方程组有惟一解;
ii. 当  , 方程组无解;
iii. 当  , 方程组有无穷多解. 此时基础解系含解向量个数为 
齐次方程组:  , 所以  .
令  . 基础解系解向量为:  .
非齐次方程组:  , 所以  .
令  . 非齐次方程特解为:  .
通解为: 
3. 问l为何值时, 线性方程组  有解, 并求出解的一般形式.
解. 
iii. 当  , 方程组有无穷多解. 此时基础解系含解向量个数为 
齐次方程组:  ,
令  . 基础解系解向量为:  .
非齐次方程组:  ,
令  . 非齐次方程特解为:  .
通解为: 
4. 已知  ,  ,  及  .
i. a, b 为何值时, b不能表示成  的线性组合.
ii. a, b 为何值时, b有  的惟一线性表示, 并写出该表示式.
解. 假设  , 求解方程组, 求  .
i.  时,  , 方程组无解, 即b不能表示成  的线性组合;
 时,  , 方程组有无穷多解, 即b有无穷多种方法可表示成
 的线性组合.
ii.  时,  , 方程组有惟一解, 即b能表示成  的线性组合, 且表示法惟一. 此时得方程组  ,
解得:  , 表示式为:  .
5. 知方程组  与
同解, 试确定a, b, c.
解. 在第二个方程组中求一组特解.
令  . 将该组特解代入第一个方程组中得:  .
6. 已知下列非齐次线性方程组( I )、( II )
( I )  (
II ) 
i. 求解方程组( I ), 用其导出组的基础解系表示通解;
ii. 当方程组( II )中的参数m, n, t为何值时, 方程组( I )与( II )同解.
解. i. 由第一个方程组:
 , 齐次方程基础解系所含解向量个数为:  .
齐次方程组:  . 令  .
基础解系为:  .
非齐次方程组:  . 令  .
所以第一个方程组的通解为: 
ii. 将  代入第二个方程组:
.
7. 设A是m×n矩阵, R是m×n矩阵, x =  , B是m×m矩阵, 求证: 若B可逆且BA的行向量都是方程组  的解, 则A的每个行向量也都是该方程组的解.
解. 假设  ,
 , 其中  为A的行向量.
   = 
因为BA的行向量都是方程组  的解, 所以:  .
所以:  , 即  .
因为B可逆, 所以  . 即A的每个行向量为R x = 0的解.
8. A是m×n矩阵, 秩为m;
B是n×(n－m)矩阵, 秩为n－m; 又知AB
= 0, a是满足条件  的一个n维列向量. 证明: 存在惟一的一个n－m维列向量b使得  .
解. 因为  , 所以方程组  的基础解系所含解向量的个数为  .
假设  为n×(n－m)矩阵,  . 其中  为B的列向量  .
因为AB
= 0, 所以
 , 即B的列向量都是  的解. 又因为  , 所以  为  的基础解系.
所以满足  的任意向量都是  的惟一线性组合, 即存在惟一的一组数  , 使 
令  , 则
 .
9. 矩阵  , 证明:  有解的充要条件是  , 则  .
解. 充分性:
假设  的系数矩阵为A, 增广矩阵为  .
考察: I.  II.
因为  , 则  , 所以(I)和(II)为同解方程组, 所以  . 即
 . 所以  有解.
必要性:
考察
 (1)
 (2)
 (3)
即要证明: 若(1)有解, 则(2)的解必为(3)的解.
假设 y为(1)的解, 则  . 取转置, 得  . 又设x为(2)的解, 即  . 则
所以x为(3)的解.
10. A是n阶矩阵, 且A ¹ 0. 证明:存在一个n阶非零矩阵B,
使AB = 0的充分必要条件是  .
解. 必要性:
(反证法) 反设  , 则  存在. 所以当AB
= 0时, 二边右乘  得  , 和存在一个n阶非零矩阵B, 使AB = 0矛盾. 所以  ;
充分性:
设  , 则方程组Ax = 0有非零解  . 构造矩阵
则B
¹ 0, 且AB
= 0.
11. 假设A是m×n阶矩阵,若对任意n维向量x, 都有  , 则A = 0.
解. 假设
 ,  为A的列向量  . 取   , 只有第i个分量为1, 其余都为0. 则
 ,
所以 A = 0.
12. 假设  . 如果h是方程组  的一个解, 试求  的通解.
解. 将  代入  , 得到  .
i. 
于是  , 基础解系所含解向量个数为:  .
齐次方程:  ,
令  , 解向量为: 
令  , 解向量为: 
所以通解为: 
i. 
于是  , 基础解系所含解向量个数为:  .
齐次方程:  ,
令  , 解向量为: 
所以通解为: 
13. 假设  . 如果矩阵方程  有解, 但解不惟一, 试确定参数a.
解. 
当  时, 对于B的任一列向量, 都有
 , 所以矩阵方程  有解, 但解不惟一.
14. 假设  是非齐次方程组  的两个不同解(A是m×n矩阵), x是对应的齐次线性方程组  的一个非零解, 证明:
i. 向量组  线性无关;
ii. 若  则向量组  线性相关.
解. i.  ,  ,  , 所以  是齐次方程  的非零解.
假设
则
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