1. 零为矩阵A的特征值是A为不可逆的

(A) 充分条件   (B) 必要条件   (C)充要条件   (D) 非充分、非必要条件

解. 假设 为A的所有特征值, 则 . 所以:

          0为A的特征值 A可逆

(C)为答案.

2. 设 是矩阵A的两个不同的特征值, 是A的分别属于 的特征向量, 则

(A) 对任意 , 都是A的特征向量.

(B) 存在常数 , 是A的特征向量.

(C) 当 时, 不可能是A的特征向量.

(D) 存在惟一的一组常数 , 使 是A的特征向量.

解. 为A的二个相异的特征值, 所以存在非零向量 , 满足 . 而且 线性无关.

假设存在 l 满足:

所以     ,  即  

因为 线性无关, 所以   = 0,  ; = 0,  .

和 矛盾. 所以(C)为答案.

3. 设 是n阶矩阵A的特征值, 且齐次线性方程组 的基础解系为 , 则A的属于 的全部特征向量是

(A)                          (B)

(C) ( 为任意常数)   (D) ( 为不全为零的任意常数)

解. 因为齐次线性方程组 的基础解系为 , 所以方程组 的全部解为 ( 为任意常数). 但特征向量不能为零, 则A的属于 的全部特征向量是: ( 为不全为零的任意常数), (D)为答案.

4. 设 是矩阵A的两个不同的特征值, 是A的分别属于 的特征向量, 则有 是

(A) 线性相关    (B) 线性无关     (C) 对应分量成比例    (D) 可能有零向量

解. (B)是答案.

5. 与n阶单位矩阵E相似的矩阵是

(A) 数量矩阵                (B) 对角矩阵D (主对角元素不为1)

(C) 单位矩阵E                       (D) 任意n阶矩阵A

解. 令 . 所以 . 所以(C)是答案.

6. 是n阶方阵, 且 , 则

(A) 的特征矩阵相同              (B) 的特征方程相同

(C) 相似于同一个对角阵          (D) 存在正交矩阵T, 使得

解. , 则存在可逆方阵P, 使得 . 所以

所以 的有相同的特征方程, (B)是答案.