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1. 设  是矩阵  的特征值, 求: i. t的值; ii. 对应于  的所有特征向量.
解. 
当  时,  . 所以t为任意实数.
i.  时
所以  . 方程组  基础解系所含解向量个数为
相应的方程组为  . 取  . 所以解向量为  , 对应于  的全部特征向量为  ;
ii.  时
所以  . 方程组  基础解系所含解向量个数为
相应的方程组为  . 取  . 所以解向量为  , 对应于  的全部特征向量为  .
2. 求n阶矩阵  的特征值与特征向量.
解. 
 ,
所以方程组  的基础解系所含解向量个数为
 .
相应的方程组为  , 令  , 得解向量 
于是对应于  的全部特征向量为  (  ).
3. 假定n阶矩阵A的任意一行中, n个元素的和都是a, 试证  是A的特征值, 且(1, 1, …, 1)T是对应于  的特征向量, 又问此时  的每行元素之和为多少?
解. 假设  , 且 
所以  为A的特征值, 对应的特征向量为(1, 1, …, 1)T.
因为A可逆,
所以  为  的特征值, 对应的特征向量也是(1, 1, …, 1)T.
即  . 所以  的每行和为  .
4. 设  均是n阶方阵, 且  , 证明  有公共的特征向量.
解. 考察方程组  .  . 所以方程组有非零解
a
则解向量a为A, B的公共特征向量, 对应的特征值为
 .
5. 设三阶矩阵A满足  , 其中列向量  ,  ,  , 试求矩阵A.
解. 矩阵 
所以  ,
所以 
=
6. 设矩阵A与B相似, 其中  ,  ,
i. 求x 和y的值; ii. 求可逆矩阵P,
使得  .
解. 因为A相似于B,
所以|A|
= |B|, 所以  ; 且  , 所以  .
得  .
由B的表达式知: A的二个特征值为 
i. 
 ,
 ,
方程组  的基础解系只有一个解向量.
相应的方程组为  , 取 
得特征向量: 
ii. 
 ,
 ,
方程组  的基础解系有二个解向量.
相应的方程组为
 ,
取  ,
取 
得二个线性无关的特征向量:
 .
所以矩阵 
7. 设矩阵  , 矩阵  , 其中k为实数, E为单位矩阵, 求对角矩阵L, 使得B与L相似, 并求k为何值时, B为正定矩阵.
解. 
解得  . 其中  为二重根.
当  时, 
 
 , 所以方程组  的基础解系有二个解向量, 所以B可以对角化. 即 B相似于对角矩阵:  .
时, B的特征值都为正, 此时, B为正定阵.
8. 设n阶矩阵A的特征值为1, 2, …, n,
试求  .
解. 因为A的特征值为1, 2, …, n,
所以2A + E的特征值为  . 所以  .
9. 判断矩阵  是否可对角化? 若可对角化, 求出可逆矩阵U, 使  为对角矩阵.
解. 
i. 
于是  , 基础解系所含解向量的个数为:  .
相应的方程组为:  . 令
得解向量(对应于  的特征向量):  ;
ii. 
于是  , 基础解系所含解向量的个数为:  .
相应的方程组为:  . 令
得解向量(对应于  的特征向量):  ;
iii. 
于是  , 基础解系所含解向量的个数为:  .
相应的方程组为:  . 令
得解向量(对应于  的特征向量):  ;
因为有三个不同的特征值, 所以对应的特征向量线性无关,
所以A可以对角化.
 , 使
10. 设  , 求  .
解. 
i. 
于是  , 基础解系所含解向量的个数为:  .
相应的方程组为:  . 令
得解向量(对应于  的特征向量):  ;
ii. 
于是  , 基础解系所含解向量的个数为:  .
相应的方程组为:  . 令
得解向量(对应于  的特征向量):  ;
iii. 
于是  , 基础解系所含解向量的个数为:  .
相应的方程组为:  . 令
得解向量(对应于  的特征向量):  ;
因为有三个不同的特征值, 所以对应的特征向量线性无关,
所以A可以对角化.
令
 ,
 .
所以 
所以
 =   
=   = 
11. 某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计, 然后将  熟练工支援其它生产部门, 其缺额由招收新的非熟练工补齐. 新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有  成为熟练工, 设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为  和  , 记成向量 
i. 求  与  的关系式并写出矩阵形式:  = A
 ;
ii. 验证  ,  是A的两个线形无关的特征向量, 并求出相应的特征值;
iii. 当  =  时, 求  .
解. i. 由题设可得以下递推关系:
第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为  和  , 熟练工的  , 即  支援其它生产部门, 缺额招收新的非熟练工, 所以总的非熟练工为
 .到第n + 1年, 其中的  成为熟练工,  还是非熟练工. 所以得到
 ,
即 
所以
 ,
ii.  , 
 , 所以  是A的特征向量, 相应的特征值为
 ;
 , 所以  是A的特征向量, 相应的特征值为
 .
iii. 假设  , 则  ,
所以 
所以
=   = 
12. 设  是方阵A的两个不同的特征值,  是A的对应于  的线性无关的特征向量,  是A的对应于  的线性无关的特征向量, 证明  ,  线性无关.
解. 由题设知:  ; 
假设  ,
所以 
于是 
所以
所以
因为
 , 所以 
因为
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