1. 用配方法将下列二次型化为标准形

解.   令

则  

       =

       =

2. 用正交变换将下列实二次型化为标准形

i.

ii.

解. i.

解得: 

所以可用正交变换将原二次型化成以下标准型:

ii.

解得: 

所以可用正交变换将原二次型化成以下标准型:

3. 设A为n阶实对称矩阵, 且满足 , 证明A是正定矩阵.

解. 假设 l 为A的特征值, 因为 , 所以 . 解得, , . 因为A为实对称矩阵, 所以只能 . 所以A为正定矩阵.

4. 设实对称矩阵A的特征值全大于a, 实对称矩阵B的特征值全大于b, 证明A + B的特征值全大于a + b.

解. 因为实对称矩阵A的特征值全大于a, 所以 为正定阵; 因为实对称矩阵B的特征值全大于b, 所以 为正定阵. 所以  ( )+( )为正定阵.

假设l 为A + B的特征值, 相应的特征向量为x, 即 .

于是    

所以 为( )+( )的特征值. 又因为( )+( )为正定阵, 所以 > 0, 即 .

5. 设A为n阶实对称矩阵, 证明: 秩(A) = n的充分必要条件为存在一个n阶实矩阵B, 使 是正定矩阵.

解. “充分性”(反证法)

反设 , 则|A| = 0. 于是 是A的特征值, 假设相应的特征向量为x, 即 , 所以  .

所以  , 和 是正定矩阵矛盾;

“必要性”

因为 , 所以A的特征值 全不为0.

取  , 则 , 它的特征值为 全部为正, 所以 是正定矩阵.

6. 设 均为n阶正定矩阵, 证明: AB是正定矩阵的充要条件是A与B可交换.

解. “必要性”

因为 , AB均为n阶正定矩阵, 所以 , AB均为n阶实对称矩阵, 即 , , 所以A与B可交换;

“充分性”

因为 , 则 , 所以 为对称矩阵.

有以下定理成立: C为正定矩阵的充要条件为存在可逆矩阵P使得 .

对于正定矩阵A, 存在可逆矩阵P使得 ;

对于正定矩阵A, 存在可逆矩阵Q使得 .

所以 . 因为 可逆, 所以 为正定矩阵. 上式表明 相似于正定矩阵, 又因为 对称, 所以 是正定矩阵.

7. 设A为n阶实对称矩阵, E为n阶单位矩阵, 求证: 对充分小的正数 为正定矩阵.

解. , 所以 为n阶实对称矩阵. 对于n阶实对称矩阵A, 假设它的特征值为 , 的特征值为 . 令 , 取 .

所以  

所以   为正定矩阵.

8. 对一般的n元实二次型 , 其中 , 证明: f在条件 下的最大值恰为矩阵A的最大特征值.

解. 对于实二次型 , 存在正交变换 , 使

其中 为A的全部特征值. 不妨假定: .

,

,

………………………

所以 

所以  

当  , 即 时,

由 知, 当 时, . 取 时, 相应的x有 .

所以f在条件 下的最大值恰为矩阵A的最大特征值.